권*표 교수님

열심히 공부하고 계신다니 참 좋습니다.
어려운 개념들 때문에 가끔 지치실 수도 있겠지만 그럴 때일수록 인내를 가지고 즐거움과 함께 공부하시면 좋으실 것 같습니다.
질문하신 내용은 오일러 방정식, 베르누이 방정식, 그리고 나비에-스톡스 방정식에 대한 차이에 대한 것으로 확인됩니다.
일단 오일러 방정식은 나비에-스톡스 방정식에서의 점성이 없는 조건을 달아서 만든 방정식이 맞습니다.
저는 재료 전공이라 유체 쪽에 대해서 완벽하게 알지는 못하지만
제가 이해한 개념을 토대로 최대한 이해하기 쉽게 알려드리도록 노력해보겠습니다.

 

우리가 유체역학을 공부하는 근본적인 이유를 생각해볼까요.
아니, 그 전에 좀 더 간단한 물리적 현상에 대해 생각해봅시다. 우리가 만약 어떤 점(Point) 또는 강체(Rigid Body)가 움직인다는 상황을 보게 된다면,
변위가 얼마인가, 속도(translation+rotation)는 얼마인가, 운동량은 얼마인가, 그 속도 또는 운동량의 변화는 얼마인가 등등에 대한 다양한 고민을 하게 됩니다.
왜냐하면 어떤 물리적인 결과를 야기하는 원인들을 이해하면 그러한 현상을 우리가 여러 요인들을 통해 제어할 수도 있게 되고, 그 현상을 보다 잘 분석할 수도 있기 때문이죠.
여기서 강체가 일반적인 물체(Material)가 되면 좀 더 상황이 복잡해집니다.
물체 안에서 변형도 일어나기 때문에 앞서 얘기했던 (각)속도의 변화(=(각)가속도), (각)운동량의 변화(=모멘트 또는 힘) 등보다 더 많은 개념들이 필요하게 되겠죠.
그런데 여기서 유체의 유동을 해석하고자 하면 더욱 복잡해집니다. 유체에 해당하는 기체는 고체와 달리 압력에 따라 밀도가 변하는 압축성을 가지고 있는 경우도 있고,
심지어 점성 또는 점탄성 성질도 가지고 있는 경우도 있습니다.
식만 봐도 유체역학이 어려워보이는 이유는 이러한 다양한 성질을 지니는 유체의 거동을 이해하기 위해서는 그만큼 다양한 개념들이 필요해지기 때문입니다.

 

그러나 결국 유체의 거동도 처음에 얘기했던 점, 강체, 물체의 거동과 마찬가지로 다 같은 물리적인 현상 중 하나에 불과합니다.
즉, 일상생활에서는 뉴턴의 법칙을 만족한다는 것이죠. 뉴턴의 법칙 중 가속도의 법칙, F=ma를 예로 들면, 공을 치면 그 힘만큼 가속도를 가지는 것과
파이프 끝에 압력을 주면 유체가 흐르는 것은 다 같은 가속도의 법칙입니다. 단지 해석하는 방법이 조금 다를 뿐이죠.
유체의 거동을 분석하기 위해서 가장 먼저 레이놀즈 수송정리를 배웠고, 거기서 질량보존법칙이 유도됩니다.
운동량을 넣으면 뉴턴의 제2법칙이 유도되고, 각운동량을 넣으면 나중에 배우실 지는 모르겠지만 Tensor는 symmetric하다는 것 등이 유도될 것이고,
 질량, 운동량, 또는 각운동량 대신 에너지를 넣으면 에너지 보존법칙도 유도되겠죠.
이 중에서 운동량(Linear Momentum)에 대한 편미분 방정식이 나비에-스톡스 방정식이 됩니다.
여기에는 중력, 점성, 가속도 등 여러 항들이 고려됩니다. 이것이 너무 복잡하다고 생각하면 문제를 좀더 단순화해서 풀 수도 있겠죠.
 그래서 점성항이 없다고 가정하면 오일러 방정식이 되는 것입니다.

 

그렇다면 베르누이 방정식은 무엇이냐. 이 것 또한 오일러 방정식에서 나온 것으로 유선에 따라 적분한 에너지 보존방정식입니다.
단, 이 방정식은 1)비점성과 2)비압축성일 때만을 가정하는데,

그 이유는 1)이 베르누이 방정식이 나비에-스톡스방정식에서 점성항이 없다고 가정한 오일러 방정식을 유선에 따라 적분한 것에 불과하기 때문이고,

2)유선상에서 적분할 때 유선에 따라 밀도가 변하지 않는 constant라고 가정하고 적분을 하기 때문입니다.
어쨌든 이 모든 것들은 유체의 거동을 해석하기 위한 다양한 방정식들입니다.

3장과 4장을 넘나들면서 Control Volume과 Differential Relation에 따라 너무 구분지으시면서 공부하실 필요는 없으십니다.

 

최대한 설명한다고 했는데 잘 이해가 되셨는지 모르겠네요.
어려운 내용이지만 쉽게 쉽게 직관적으로 이해하도록 노력해보세요.
그리고 대부분의 내용은 교재에 잘 설명되어 있습니다.
스스로 더 많이 읽어보시고 더 많이 생각해보는 것이 실력이 느는 길임을 명심하시길 바랍니다.

 

감사합니다.  

• 2016-11-14
• 2024-12-12 수정